Цель работы

• Освоить модель экспоненциального роста и её математическую формулировку
  
• Найти аналитическое решение дифференциального уравнения
  
• Выполнить параметрическое исследование влияния коэффициента роста \(\alpha\)
  
• Изучить:
  • поведение функции \(u(t)\)
    
  • зависимость времени удвоения \(T_2\)
    
  • вычислительные особенности моделирования

Задание

• Рассмотреть модель экспоненциального роста как базовый пример
  
• Проанализировать её математическое описание
  
• Провести вычислительные эксперименты при различных значениях \(\alpha\)
  
• Представить результаты в графическом виде

Дифференциальное уравнение

Экспоненциальное изменение величины описывается уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Где:

• \(u\) — текущее значение величины (например, численность, капитал)
  
• \(t\) — время
  
• \(\alpha\) — коэффициент роста
  • \(\alpha > 0\) — наблюдается увеличение
    
  • \(\alpha < 0\) — происходит затухание

Решение и характеристики

Аналитическое решение:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

Формула для времени удвоения:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \approx \frac{0.693}{\alpha} \]

Основные свойства модели:

• увеличение \(\alpha\) приводит к более быстрому росту
  
• при росте \(\alpha\) время удвоения уменьшается

Базовый эксперимент (α = 0.3)

• Исследовано поведение функции \(u(t)\) на заданном промежутке времени
  
• График демонстрирует типичную экспоненциальную динамику

Влияние α на рост

• Проведены расчёты для значений:
  • \(\alpha = 0.1,\;0.3,\;0.5,\;0.8,\;1.0\)
    
• При увеличении параметра система начинает расти значительно быстрее

Время удвоения

Теоретическая формула:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

• Результаты вычислений согласуются с теоретической зависимостью
  
• С ростом \(\alpha\) время удвоения уменьшается

Время вычислений

• Исследована зависимость времени расчёта от значения \(\alpha\)
  
• Изменения времени выполнения остаются незначительными

Выводы

• Экспоненциальная динамика описывается уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Выводы

• Его аналитическое решение имеет вид:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

• Коэффициент \(\alpha\) определяет интенсивность роста системы

Выводы

• Время удвоения выражается формулой:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

Выводы

• Численные эксперименты подтвердили теоретические зависимости
  
• При увеличении \(\alpha\) наблюдается:
  • ускорение роста
    
  • уменьшение времени удвоения
    
  • незначительное увеличение вычислительных затрат