Математическое моделирование

Лабораторная работа № 1

Гафоров Нурмухаммад

Российский университет дружбы народов

2026-02-10

Вводная часть

Цель работы

  • Освоить модель экспоненциального роста и её математическую формулировку
  • Найти аналитическое решение дифференциального уравнения
  • Выполнить параметрическое исследование влияния коэффициента роста \(\alpha\)
  • Изучить:
    • поведение функции \(u(t)\)
    • зависимость времени удвоения \(T_2\)
    • вычислительные особенности моделирования

Задание

  • Рассмотреть модель экспоненциального роста как базовый пример
  • Проанализировать её математическое описание
  • Провести вычислительные эксперименты при различных значениях \(\alpha\)
  • Представить результаты в графическом виде

Теория: модель

Дифференциальное уравнение

Экспоненциальное изменение величины описывается уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Где:

  • \(u\) — текущее значение величины (например, численность, капитал)
  • \(t\) — время
  • \(\alpha\) — коэффициент роста
    • \(\alpha > 0\) — наблюдается увеличение
    • \(\alpha < 0\) — происходит затухание

Решение и характеристики

Аналитическое решение:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

Формула для времени удвоения:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \approx \frac{0.693}{\alpha} \]

Основные свойства модели:

  • увеличение \(\alpha\) приводит к более быстрому росту
  • при росте \(\alpha\) время удвоения уменьшается

Эксперимент: базовый

Базовый эксперимент (α = 0.3)

  • Исследовано поведение функции \(u(t)\) на заданном промежутке времени
  • График демонстрирует типичную экспоненциальную динамику

Эксперимент: параметрическое исследование

Влияние α на рост

  • Проведены расчёты для значений:
    • \(\alpha = 0.1,\;0.3,\;0.5,\;0.8,\;1.0\)
  • При увеличении параметра система начинает расти значительно быстрее

Время удвоения

Теоретическая формула:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

  • Результаты вычислений согласуются с теоретической зависимостью
  • С ростом \(\alpha\) время удвоения уменьшается

Время вычислений

  • Исследована зависимость времени расчёта от значения \(\alpha\)
  • Изменения времени выполнения остаются незначительными

Итоги

Выводы

  • Экспоненциальная динамика описывается уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Выводы

  • Его аналитическое решение имеет вид:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

  • Коэффициент \(\alpha\) определяет интенсивность роста системы

Выводы

  • Время удвоения выражается формулой:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

Выводы

  • Численные эксперименты подтвердили теоретические зависимости
  • При увеличении \(\alpha\) наблюдается:
    • ускорение роста
    • уменьшение времени удвоения
    • незначительное увеличение вычислительных затрат